1Calcul En éléments Finis Des Déformations Des Sols Non .

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1 Calcul en éléments finis1 des déformations11M. WONEJ.-P. MAGNANLaboratoire Centraldes Ponts et Chaussées58? boulevard Lefebvre75732 Paris Cedex 1511111111 1des sols non saturés :équations et exemples, 1Cet article présente un modèle numérique en élémentsfinis construit sur la base des équations de laconsolidation des sols élastoplastiques non saturés. Cemodèle a été programmé dans le code de calcul CE5ARLCPC.1équations du modèle tiennent compte de l'interaction1 Les1 des déformations du squelette, des écoulements de l'eauet de l'air ainsi que des mouvements de l'air dissous dansl'eau. La résolution numérique de ces équations associe la11 méthode des éléments finis pour discrétiser l'espace et1 un schéma d'intégration implicite pour discrétiser le1 temps. Les déformations du squelette sont décrites selonl'approche des variables indépendantes.Deux applications sont décrites, à un tube épais en1 conditionaxisymétrique et à un massif de sol en1 déformation plane.E 1l I, 10 1111 Finite element analysis1 11111 111 1Il1111 11111 1g1ri1I 111q11111111111m1of the deformations of unsaturatedsoils :equations and exemplesültalThis paper describes a finite element nUD1erical model derivedfrom the basic equations of elastoplasticity and consolidation of I unsaturated soils. The model was implemented in the finite I element program CESAR-LepC. « The equations of the model account for the interaction of thedeformation of the soil skeleton, of the flow of water and air andof the movement of the air dissolved in the pore water. Thenumerical solution of these equations is based on the finiteelement Inethod for space discretisation and on an implicitn1ethod for tilne discretisation. The deformations of the soilskeleton are described within the framework of the independentvariable approach.Two applications of this n10del to an axisymmetric problem(thick tube) and to a plane strain problem (2-D consolidation of asoil mass) are presented.1117REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEW872e trimestre 1999

IntroductionLa modélisation du comportement mécanique dessols non saturés ne fait pas l'objet d'un consensusparmi les spécialistes de la géotechnique. L'extensionde la notion de contraintes effectives, telle qu'elle a étéproposée par Bishop (1961) pour servir de cadre à ladescription des sols, a fait l'objet de différentes critiques, souvent étayées par des résultats expérimentauxobtenus en laboratoire (Jennings et Burland, 1962 ;Matyas et Radakrishna, 1968; Fredlund et Morgenstern, 1976). D'autres approches, comme celles d'Alonsoet al. (1988, 1990), ou de Fredlund (1989) semblentapporter une réponse plus complète et mieux décrirela réalité par une modélisation physique avec deuxchamps de contraintes indépendants.Différents modèles théoriques et numériques baséssur les 1110dèles physiques en contraintes effectives ou envariables indépendantes sont apparus depuis une dizained'années, comme ceux d'Alonso et al. (1988), de Nanda(1989), de Gens et al. (1995) et de Gatmiri et al. (1995).L'étude présentée dans cet article a été réalisée aumoyen du code de calcul en éléments finis CESARLCPC et a cherché à appliquer à la programmation deséquations des sols non saturés la même démarche systématique que pour les calculs relatifs aux sols saturés.Pour décrire le comportement des sols non saturés,nous avons utilisé une formulation couplée et un comportement élastoplastique avec écrouissage du squelette du sol, qui permet de prendre en compte l'irréversibilité des déformations.Cet article rappelle les équations qui représentent lecomportement élémentaire des sols non saturés, décritles étapes de leur transformation en équations matricielles adaptées à leur résolution par la méthode des éléments finis, puis présente quelques résultats de calcul.'1Hypothèses et définitionsLa représentation mécanique que nous avons adoptée pour la modélisation numérique des sols non saturés repose sur la superposition de trois milieux continus, qui couvrent chacun l'ensemble de l'espaceoccupé par le sol:- le milieu global (sans distinguer de phases: on admetque les modifications de la composition de ce milieu triphasé par suite des mouvements de l'eau et de l'air ontun effet négligeable sur ses propriétés physiques etmécaniques, c'est-à-dire que l'on peut définir une loide comportement à partir de son état initial) ;- le milieu continu cc air )) et le milieu continu cc eau ))(ces deux milieux peuvent se déplacer l'un par rapportà l'autre à l'intérieur du milieu global et en sortir ou yentrer).Champs de contraintes18Trois champs de contraintes sont définis respectivement dans le milieu global, l'eau et l'air: la contraintetotale a, la pression de l'eau Pw et la pression de l'air Pa'REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN 822e trimestre 1999Les conventions de signe utilisées dans les équations sont des conventions cc mixtes )) : contraintestotales négatives en compression, pressions d'eau etd'air positives en compression.Pour le calcul, les pressions d'eau et d'air sontremplacées par les charges d'eau hw et d'air ha définies, selon les habitudes de la mécanique des sols,par:h vv Pw Z etYwavec:Yw : poids volumique de l'eau;Ya : poids volumique de l'air;z : altitude par rapport à un repère fixe.Le champ de contraintes du milieu global dépenddirectement de la pesanteur et des conditions aux limiteset, indirectement, de la loi de comportement et des autresconditions aux limites. Le champ associé à la pression del'eau (respectivement, à la pression de l'air) dépend directement de la pesanteur et des conditions aux limites surla charge d'eau (respectivement, la charge de l'air) et,indirectement, de la loi de comportement du matériauglobal et des autres conditions aux limites.Champs de déplacements et de déformationsTrois champs de déplacements, auxquels sont associés trois champs de déformations, sont utilisés pourdécrire l'état du sol non saturé:- un champ de déplacements associé au milieu continuglobal ou cc champ principal )), noté ü;- un champ de déplacements associé à l'eau, noté ü w ;- un champ de déplacements associé à l'air, noté ü a .Au chan1p de déplacements principal ü est associéle champ de déformations totales du milieu global E. Lechamp de déplacements associé à l'eau est utilisé sousla forme du vecteur des vitesses moyennes d'écoulement de l'eau v w et sous la forme d'un scalaire égal auflux d'eau sortant d'un volume unitaire, div v w (et de111ên1e pour les déplacell1ents associés à l'air : va etdiv va ).Les déformations totales E sont négatives encontraction, et les flux sont positifs quand ils sortent duvolume élémentaire.Comportement mécaniqueOn suppose que les déformations du milieu peuventêtre induites par une variation de la contrainte totale(a p) et/ou de la succion (Pa -Pw)' considérées commevariables indépendantes. La loi de comportement estde type élastoplastique avec écrouissage. Elle estdécrite dans cet article avec les équations proposéespar Alonso et al. (1990), mais peut être transforméeaisément pour accueillir d'autres formes de lois élastoplastiques avec ou sans écrouissage.Les contraintes et les déformations doivent satisfaire simultanément les équations d'équilibre et la loide comportement.

Équations d'équilibrecrij,j Fi 0avec:crij : tenseur des contraintes totales;Fi : forces volumiques.Loi de comportement du milieu global(Alonso et al., 1990)Cette loi de comportement est écrite sous la formeincrémentale :dcr ij D PkldEkl (Fe -1) dp)\j FedPw()ijavec:De: matrice de souplesse du milieu global relative auxva?iations de cr··Il p a 8.·Il ;dE k1 : incrément du tenseur des déformations (du milieuglobal) ;F DD·eep s?Ds : matrice de souplesse du milieu global relative auxvariations de (Pa - pw) ;()ij : symbole de Kronecker;dPa : incrément de pression d?air ;dpw : incrément de pression d?eau.Écoulements de l'eau et de l'airdans le milieu poreuxL?eau et rair se déplacent dans respace occupé parle milieu global en respectant? d?une part des lois deconservation de la masse et d?autre part des loisreliant les vitesses moyennes d?écoulement aux gradients de charge (loi de Darcy pour chaque phase). Cesvitesses moyennes désignent les vitesses relatives desfluides par rapport au solide? comme si tout r espace(solide pores) leur était offert.Équation de conservation de la masse d'air [PaD(1- Sr HS r )] div[Pa (va Hvw)] 0avec:Pa : masse volumique de rair ;H : coefficient de solubilité de rair dans reau ou coefficient de Henry (H O?02) ;va: vitesse moyenne d?écoulement de rair.Loi de Darcy pour l'eauLa loi de Darcy s?écrit:avec:h'AI: charge hydraulique;kw : tenseur des coefficients de perméabilité à r eau (lescoefficients de perméabilité dépendent de façon générale de rindice des vides ou de la porosité? du degré desaturation? de la température et de la nature du fluide).La fonction adoptée pour décrire les variations descoefficients de perméabilité à r eau est la même quecelle utilisée par Alonso et al. (1988t Nanda (1989) etAbida (1992) :avec:a? a : constantes;e : indice des vides;Sr : degré de saturation;Sru : degré de saturation résiduel.Loi de Darcy pour l'airÉquation de conservation de la masse d'eau (PwDSr) div(pw v w) 0avec:Pw : masse volumique de r eau;n : porosité du massif;v w : vitesse moyenne d?écoulement de r eau;Sr : degré de saturation en eau? qui dépend des pressions d?eau et d?air et de . On a adopté pour décrirecette dépendance la relation utilisée par Matyas etRadakrishna (1968) et reprise par Alonso et al. (1988) :(0Sr Sro -[as b s ij Pa8ij)]{1-eXP[-Cs(Pa -P w)]}avec:Sro: degré de saturation initial;as? b S? Cs : constantes.On admet que r écoulement de r air est égalementrégi par la loi de Darcy (YoshimL 1969) :va -ka grad haavec: ka : tenseur des coefficients de perméabilité àrair.La fonction décrivant les variations des coefficientsde perméabilité à r air est celle utilisée par Alonso et al.(1988t Nanda (1989) et Abida (1992) :avec:b, c : constantes adimensionnelles ;Ya : poids volumique de l'air;J.la : viscosité de r air;e : indice des vides.19REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN 872e trimestre 1999

1Conditions aux limitesLes conditions aux limites imposées aux inconnues(déplacements et pressions) sont des déplacements ouforces imposés au milieu global, des flux ou descharges d'eau imposés pour l'eau et des flux ou descharges d'air imposés pour l'air.- pour reaU:fnawnSrPwbPwdQ fnPwnSrbPwdQ - fnPwSrbjjEjjbPwdQ-fndiv[pwkw9rad( : Z ]8PwdO fS w !lw8PwdS w 0- pour rair:fna an(1- Sr H Sr)PabPadQ fnPan(H -1)SrbPadQ fn Pa (1- Sr HSr)OijzijoPa dD - fn diV[Pakag rad (Conditions initialesDans les calculs de comportement des milieuxporeux non saturés, il est souvent difficile d'imaginerl'état initial. En effet, les distributions des contraintestotales, des charges d'eau et des charges d'air doiventêtre en équilibre compte tenu de la répartition desphases dans l'espace (indice des vides et degré de saturation), si l'on veut que les résultats des calculs ne combinent pas l'effet de l'évolution spontanée de l'état initial et l'effet du chargement.Pour définir un état initial en équilibre, nous avonsappliqué une procédure qui consiste à calculer l'étatinitial de la manière suivante:- on effectue à partir d'un état initial estimé mais pasnécessairement en équilibre un premier calcul avecpour seul chargement mécanique le poids du massif desol, jusqu'à stabilisation des charges d'eau et d'air etdes contraintes;- on prend les résultats de ce calcul comme état initialdes calculs ultérieurs en annulant les déplacements.1Choix d'un principe variationnelLe passage des équations précédentes à une formulation variationnelle permettant d'associer la solutioncherchée (un état d'équilibre local) à un extrémumd'une fonctionnelle (minimum ou maximum) n'est pasune opération classique dans le cas des milieux triphasiques.La procédure que nous avons adoptée comportedeux étapes: Dans la première étape, on fige l'état des fluides et onse préoccupe de trouver l'état d'équilibre du milieu global en minimisant son énergie potentielle, c'est-à-direque l'on écrit un cc principe des travaux virtuels )) danslequel le travail interne (déduit de la loi de comportement) est équilibré par le travail des forces externes(forces de pesanteur et forces de surfaces, c'est-à-direpressions totales) :fn(JjjbEjjdQ - fnFjbUjdQ - fScrTjbUjdScr 0Cette intégrale correspond au travail de lacontrainte totale. Le champ de contrainte (J est définisur le milieu global et correspond à E. Dans la seconde étape, on s'occupe des équationsd'écoulement et on écrit des équations correspondantaux bilans globaux des mouvements des masses fluides(eau et air) présentes dans le sol, compte tenu de l'écoulement, de la compressibilité des fluides, des variationsdu degré de saturation et des variations des volumesdes pores:REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN 822 e trimestre 1999 : Z )}Pa dD -fndi{O'aHkw9rad( : Z)}Pa dO fS a !ladS a 0Le couplage entre le solide et l'eau est assuré par laprésence de la pression d'eau dans la première intégrale et de la variation du volume du sol dans ladeuxième intégrale. Le couplage entre le solide et l'airest assuré par la présence de la pression d'air dans laprernière intégrale et de la variation du volume du soldans la dernière intégrale. Le couplage entre l'eau etl'air est assuré par la présence du coefficient de solubilité de l'air dans la dernière intégrale.L'application du principe variationnel choisi à l'analyse du comportement au cours du temps des massifsde sols élastoplastiques non saturés donne le systèmed'équations suivant, que l'on doit résoudre dans ledomaine fixe Q :dF L.DeE.bE.dQ L.y(F e -1)h a bE.IJ. dQ-fn Yw F e h w bE.dQ "IJIJ "aIJ- fnFjbUjdQ- fScrTjbUjdScr - fn(F e-1)yaZbE jj dQ fnFeYwZbEjjdQ 0Of;'·dFw fnyw ( n91m De Sr8ij) J8hwdOf n nY (92 91 Fe) a w 8h wdO f n nYaYw(g2 g1Fe)a aohwdD fnkwhw,jYwohw,idD fsV Yw PwbhwdSv w 0wdFa fn YaPa[n(H -1)mJgjDe