3. Funciones Trigonométricas

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Curso: Modelos matemáticos y funcionesMagister en enseñanza de las ciencias,mención matemáticaFunciones y gráficas (3)3. Funciones trigonométricasLas funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales paraanalizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctricaalterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódicode los planetas, ciclos biológicos, etc. En aplicaciones de las funciones trigonométricasrelacionadas con fenómenos que se repiten periódicamente, se requiere que sus dominiossean conjuntos de números reales. Para la obtención de valores de las funcionestrigonométricas de números reales con una calculadora por ejemplo, se debe usar el modoradián.3.1. Función senoLa función seno es la función definida por: f(x) sen x.Características de la función seno1. Dominio: IRRecorrido: [-1, 1]2. El período de la función seno es 2 π.3. La función y sen x es impar, ya que sen(-x) -sen x, para todo x en IR.4. La gráfica de y sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x n π. paratodo número entero n.5. El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la funcióny senx es 1.y sen xUniversidad de TalcaInstituto de Matemática y FísicaProfesores: Juanita Contreras S .27Claudio del Pino O.

Curso: Modelos matemáticos y funcionesMagister en enseñanza de las ciencias,mención matemática3.2. Función cosenoLa función coseno es la función definida por: f(x) cos x.Características de la función coseno1. Dominio: IRRecorrido: [-1, 1]2. Es una función periódica, y su período es 2 π.3. La función y cosx es par, ya que cos(-x) cos x, para todo x en IR.π4. La gráfica de y cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x . n π ,2para todo número entero n.5. El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de lafunción y cosx es 1.y cos xUniversidad de TalcaInstituto de Matemática y FísicaProfesores: Juanita Contreras S .28Claudio del Pino O.

Curso: Modelos matemáticos y funcionesMagister en enseñanza de las ciencias,mención matemática3.3. Función tangenteLa función tangente es la función definida por: f(x) tan x.Características de la función tangente π 1. Dominio: IR nπ / n Z 2 Recorrido: IR2. La función tangente es una función periódica, y su período es π.3. La función y tan x es una función impar, ya que tan(-x) -tan x.4. La gráfica de y tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x n π , paratodo número entero n.y tan xLas otras tres funciones trigonométricas: cotangente, secante y cosecante son tambiénfunciones periódicas.Las funciones trigonométricas fueron sistematizadas por Newton y Leibniz, quienes habíandado expansiones en forma de serie para las mismas. Pero fue Euler quien dio el tratamientocompleto y sistemático a las funciones trigonométricas. La periodicidad de estas funciones y laintroducción de la medida de los ángulos por radianes, fue realizada por Euler en suIntroductio in Analysis Infinitorum en 1748.Universidad de TalcaInstituto de Matemática y FísicaProfesores: Juanita Contreras S .29Claudio del Pino O.

Curso: Modelos matemáticos y funcionesMagister en enseñanza de las ciencias,mención matemática3.4. Transformaciones de gráficas de funciones trigonométricasLas reglas para desplazar, dilatar, contraer, reflejar la gráfica de una función se pueden aplicara las funciones trigonométricas, recordadas en el siguiente diagrama:Funciones sinusoidalesSon funciones relacionadas con las funciones seno y coseno:y Asen( Bx C ) D,y A cos( Bx C ) Do una combinación de éstas.La periodicidad de las funciones seno y coseno desempeña un papel importante en laobtención de las gráficas de estas funciones.Características de estas funcionesLas gráficas de las funciones y Asen( Bx C ) Dey A cos( Bx C ) D ,considerando B 0, se pueden obtener a partir de las gráficas de las funciones y senx, ey cosx, cuyas características se señalan a continuación: Amplitud: A , que es el promedio de la diferencia entre los valores máximo ymínimo.2πPeríodo:.BCCDesfase: , desplazamiento horizontal de unidades a la derecha o a laBBizquierda, según si C es negativo o positivo, de la gráfica de y A f (Bx) .Desplazamiento vertical:y A f ( Bx C ) .Universidad de TalcaInstituto de Matemática y Físicatraslación vertical en D unidades de la gráfica deProfesores: Juanita Contreras S .30Claudio del Pino O.

Curso: Modelos matemáticos y funcionesMagister en enseñanza de las ciencias,mención matemáticaEjemplo 1. Gráfica de la función y -3sin(2x- π /3).Amplitud -3 3, Período 2ππ π , Desfase 26(1) y sen(x)(2) y sen(2 x)(3) y sen(2 x π / 3)(4) y 3sen(2 x π / 3)(5) y 3sen(2 x π / 3)Universidad de TalcaInstituto de Matemática y FísicaProfesores: Juanita Contreras S .31Claudio del Pino O.

Curso: Modelos matemáticos y funcionesMagister en enseñanza de las ciencias,mención matemáticaEjemplo 2. Movimiento armónico simple. π Un cuerpo está vibrando verticalmente de acuerdo con la ecuación f(t) 8cos t , donde f(t) 3 centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central (el origen) a los tsegundos, considerando como sentido positivo hacia arriba. Como la amplitud es 8, el máximo desplazamiento es 8cm.2π, es decir P 6. Por lo tanto, se requieren 6 segundos para unaEl período P esπ/3vibración completa del cuerpo.Inicialmente, el cuerpo se encuentra 8 cm por arriba del origen, la posición central. En elprimer ½ segundo el cuerpo baja 1.1 cm, es decir, se encuentra situado a 6.9cm arriba delorigen, etc.La gráfica de la función y f(t) se muestra en la siguiente figura:Ejemplo 3. Gráfica de la función y 2cos(3x π ) 1.Amplitud 2, Período Universidad de TalcaInstituto de Matemática y Físicaπ2π, Desfase , Desplazamiento vertical -133Profesores: Juanita Contreras S .32Claudio del Pino O.