Colloque Jeunes Chercheurs En Th Eorie Des Nombres

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Colloque Jeunes Chercheurs en Théorie des NombresBordeaux, 11-12-13 Juin 2014Titres et résumés : Séances Plénières.***Le problème ternaire de GoldbachHarald Helfgott (ENS Paris)La conjecture ternaire de Goldbach (1742) affirme que tout nombre impair plus grand que5 est la somme de trois nombres premiers. À la suite des pionniers (Hardy et Littlewood),Vinogradov prouva (1937) que tout nombre impair plus grand qu’une certaine constante Csatisfaisait la conjecture. Durant les trois quarts de siècle suivants, il y a eu une successionde résultats réduisant C, mais seulement à des niveaux beaucoup trop grands pour qu’unevérification mécanique jusqu’à C soit possible (C 101300 ). (Par ailleurs, les travaux deRamaré et Tao ont résolu des problèmes correspondants avec six et cinq nombres premiers aulieu de trois.)Nous verrons comment une nouvelle approche du problème, combinant des techniques modernes avec des nouvelles idèes, amène à de grandes améliorations dans les bornes de la partieanalytique. Ceci ramène C à 1027 ; or, une vérification jusqu’à 1027 n’est qu’un petit calcul. Laconjecture ternaire de Goldbach est donc prouvée.Nous discuterons les idées centrales de la preuve, avec un accent sur des outils d’intérêtgénéral dans l’analyse et la théorie analytique des nombres.Cryptographie reposant sur les réseaux euclidiensDamien Stehlé (ENS Lyon)La cryptographie reposant sur les réseaux euclidiens est une alternative récente et prometteuse aux approches classiques pour construire des cryptosystèmes à clé publique. Ses deuxpropriétés les plus attrayantes sont, d’une part, ses garanties de sécurité inégalées et, d’autrepart, la grande richesse des primitives qu’elle permet de construire.Dans ce cours introductif au domaine, je me restreindrai au problème Learning With Errors(LWE), introduit par Oded Regev en 2005, et prouvé au moins aussi difficile à résoudre quecertains problèmes portant sur les réseaux euclidiens. Je montrerai en particulier commentobtenir un chiffrement à clé publique sûr à partir de LWE.Le principal défaut de LWE est l’inefficacité des primitives cryptographiques en découlant.Pour remédier à cela, des variantes plus “structurées” de LWE ont été introduites : cette structure additionnelle permet d’obtenir des primitives cryptographiques plus efficaces. L’une deces variantes, appelée Ring-LWE, est au moins aussi difficile à résoudre que certains problèmesportant sur les réseaux, si l’on se restreint à des réseaux correspondant à des idéaux d’anneauxd’entiers de corps de nombres. Dans la seconde partie du cours, je décrirai le problème RingLWE, ce qu’il apporte en termes d’efficacité, et ce qu’il fait perdre en termes de sécurité.Enfin, je montrerai comment utiliser LWE pour construire un schéma de chiffrement homomorphe, c’est-à-dire un chiffrement permettant de calculer sur des données en ne manipulantque des messages chiffrés leur correspondant. Cette primitive a été réalisée pour la première1

fois par Craig Gentry en 2009, et, à ce jour, toutes les constructions reposent sur les réseauxeuclidiens.Bibliographie. Daniele Micciancio and Oded Regev. Lattice-based Cryptography. Book chapter in “Postquantum Cryptography”, D. J. Bernstein and J. Buchmann (eds.), Springer (2008). Availableat http://www.cims.nyu.edu/ regev/. Oded Regev. The Learning with Errors Problem. Invited survey in CCC 2010. Available athttp://www.cims.nyu.edu/ regev/. Fabien Laguillaumie, Adeline Langlois et Benot Libert. Chiffrement avanc partir du problmeLearning With Errors. Chapitre de l’ouvrage “Informatique Mathmatique, une photographie en2014”, Presses Universitaires de Perpignan. Disponible depuis http://perso.ens-lyon.fr/damien.stehle/EJCIM.html. Boaz Barak and Zvika Brakerski. The Swiss Army Knife of Cryptography. Guest blog poston homomorphic encryption. In Windows on Theory, 2012. Part I available at my-knife-of-cryptography/. Part II available at -swiss-army-knife/.Introduction à la théorie du corps de classes supérieurOlivier Wittenberg (ENS Paris)La théorie du corps de classes, qui connut son essor dans la première moitié du 20ème siècle,vise à donner une description interne de l’ensemble des extensions abéliennes d’un corps localou global. Elle fut étendue aux corps de dimension supérieure dans les années 1970 et 1980,à l’aide d’outils K-théoriques élaborés. Aujourd’hui, un nouveau point de vue, introduit parWiesend en 2006, permet une approche simplifiée, et plus élémentaire, de la théorie du corpsde classes en dimension supérieure. C’est à la présentation de la théorie du corps de classessupérieur selon Wiesend que cette série d’exposés sera consacrée, après des rappels sur la théorieclassique et sur le groupe fondamental abélien en géométrie algébrique.Iwasawa theory past and presentTed Chinburg (University of Pennsylvania)Classical Iwasawa theory has to do with the rate of growth of ideal class groups in towers ofnumber fields. In this talk I’ll survey some of the history of the subject. This includes variousMain Conjectures which link the above growth rates to analytically defined invariants such asp-adic L-series. By the end of the talk I’ll describe how previous Main Conjectures are aboutfirst Chern classes. The theory of higher Chern classes suggests a new direction for the subject.2

Colloque Jeunes Chercheurs en Théorie des NombresBordeaux, 11-12-13 Juin 2014Titres et résumés : Sessions parallèles.***Le théorème de Schanuel dans les espaces adéliques hermitiensThomas Ange (Université de Bordeaux)Le théorème de Schanuel fournit une estimation asymptotique du nombre de points dehauteur (de Weil) bornée dans P(K n ) où K est un corps de nombres. Je présenterai uneversion totalement explicite de ce théorème dans le cadre d’un espace adélique hermitien surK (on se limitera au cas pur), structure qui permet une certaine souplesse au niveau du choixde la hauteur. Je mettrai ensuite celui-ci en relation avec une estimation du nombre d’idéauxentiers de K de norme bornée (problème de Dedekind-Weber).The fourth moment of automorphic L-functions at prime powerlevelOlga Balkanova (University of Bordeaux)Behavior of automorphic L-functions at the critical point is an important study in analyticnumber theory. Subconvexity bounds and a question of vanishing (or non-vanishing) are problems of particular interest. A possible way to analyse them is the method of moments and itsvariations: mollification and amplification. Given techniques proved to be extremely effectivein the past years. However, the majority of results are known under the assumption that alevel of L-function is either prime or square-free number. Recently, Rouymi considered a levelof the form pν , where p is a fixed prime number and ν . He computed the asymptotics ofthe first three moments and established a positive proportion of non-vanishing L-functions atthe critical point. In this talk we give an asymptotic formula for the fourth power moment ofautomorphic L-functions at prime power level.Rareté des points algébriques de certaines fonctions spécialesEtienne Besson (Institut Fourier)L’investigation des propriétés arithmétiques des valeurs prises par les fonctions analytiquesintéressantes (fonction zêta de Riemann, fonction Gamma d’Euler, fonctions elliptiques.) estun problème d’approximation diophantienne naturel, mais souvent très difficile. Généralement,on conjecture que d’importantes relations d’indépendance algébrique peuvent être énoncées.Je propose de montrer comment, dans certains cas, on peut énoncer une propriété de raretépour la situation où un nombre algébrique aurait pour image un autre nombre algébrique. Ladémonstration est basée sur une stratégie proposée en 2011 par David Masser.3

Formule de Poisson motiviqueMargaret Bilu (ENS / Université Paris Sud)La formule sommatoire de Poisson est un outil notoirement efficace pour établir les propriétésde méromorphie de diverses fonctions zêta et de leurs généralisations, et en particulier defonctions zêta des hauteurs telles qu’elles apparaissent par exemple dans les conjectures deManin. Le développement récent de l’intégration motivique a donné lieu à des perspectives dece genre dans un cadre plus géométrique en remplaçant les coefficients réels de ces fonctionszêta par des coefficients dans un anneau appelé anneau de Grothendieck des variétés. Nousdonnerons une introduction à ce contexte motivique, nous focalisant sur la formule de Poissonmotivique de Hrushovski et Kazhdan qui a déjà connu des applications analogues à celles deses pendants plus classiques.Number systems with negative baseSalma Dammak (Université de Sfax)A venir.Densité des points rationnels sur les surfaces de Del PezzoJulie Desjardins (Institut Mathématiques de Jussieu)Soit X une surface de Del Pezzo de degré d. Si d 3, il suffit que X contienne un pointrationnel pour que X(Q), l’ensemble de ceux-ci, soit dense. Dans le cas d 2, il faut de plusque ce point se trouve en dehors de certaines courbes explicites. Lorsque d 1, la surface Xest automatiquement pourvue d’un point rationnel, mais la question de densité de X(Q) estlargement ouverte. Cet exposé présentera une méthode pour répondre partiellement à cettequestion.En éclatant le point de base anticanonique de X, surface de Del Pezzo de degré 1, on obtientE une surface elliptique rationnelle. Une étude de la variation du signe des fibres de E peutmener à des résultats intéressants sur la densité des points rationnels de X grâce à la conjecturede parité. Cependant, lorsque la surface considérée est isotriviale, il peut arriver que le signesoit constant.Critère explicite pour l’égalité de fonctions L d’ArtinCharlotte Euvrard (Laboratoire de Mathématiques de Besançon)Soit L/K une extension galoisienne de groupe de Galois G. Pour un caractère χ de degréd associé à une représentation (ρ, V ) de G, on peut écrire la fonction L d’Artin sous la formeL(s, χ, L/K) dY Y1 αi,ρ (p)N(p) s 1,p OK i 1où les complexes (αi,ρ (p))1 i d sont appelés les paramètres locaux en p de L(s, χ, L/K).Nous nous intéresserons ici à l’explicitation, dans le cadre particulier des fonctions L d’Artin,d’un théorème dû à Henryk Iwaniec et Emmanuel Kowalski démontrant l’existence d’un nombrefini de paramètres locaux permettant de distinguer deux fonctions L de même degré.4

Cohomologie de certaines variétés de Shimura et critères desemi-simplicitéKaram Fayad (Université Paris 6 - IMJ)Soient G un groupe réductif défini sur Q et X Hom(S, GR ) une G(R)-classe de conjugaisonb un sous-groupede morphismes. On considère la donnée de Shimura (G, X), et pour K G(Q)ouvert compact, on note ShK (G, X) la variété de Shimura correspondante, définie sur E, lecorps réflexe de (G, X).Soit Lξ,l le Ql -faisceau d’espaces vectoriels, associé à une représentation ξl : GQl GL(N )Ql ,et défini sur ShK (G, X). On a:M (ShK (G, X) E Q, Lξ,l ) V (π ) π (Sh(G, X) E Q, Lξ,l ) limHetHet Kπb On s’intéresse à étudier la semioù V (π ) π est une représentation de Gal(Q/E) G(Q). simplicité de la représentation V (π ) de Gal(Q/E).Si X X1 . . . Xr (par exemple, dans le cas quaternionique, i.e. G ResF/Q (B ) où Best une algèbre de quaternions sur un corps totalement réel F ), les relations d’Eichler-Shimuragénéralisées nous conduisent à traiter, dans un contexte plus général, la question suivante:soient Γ un groupe profini, et ρ, ρ1 , ., ρr des représentations continues de dimension finie de Γ,à coefficients dans Ql , tels que g Γ, P(ρ1 . ρr )(g) (ρ(g)) 0où P désigne le polynôme caractéristique, alors sous quelles hypothèses supplémentaires a-t-onla semi-simplicité de ρ?Preuves géométriques d’inégalités de Brauer-SiegelRichard Griffon (Université Paris 7 - Jussieu)Le théorème de Brauer-Siegel décrit la croissance du nombre de classes h(K) et du régulateurR(K) d’un corps de nombres K lorque (à degré [K : Q] fixé) le discriminant DK tend vers l’infini: plus précisément, il dit que log DK log(h(K) · R(K)) log DK . La démonstrationusuelle passe par une étude analytique fine de la fonction zeta au voisinage de son pôle, le pointdifficile étant la preuve de la minoration (qui reste ineffective) de l’encadrement.Dans cet exposé, j’expliquerai comment on peut retrouver la majoration de ce théorèmegrâce à des considérations géométriques et un calcul de volume. Je montrerai aussi commentretrouver une version faible (mais effective) à l’aide de minoration de hauteurs.5

Nombres de Salem, polynômes expansifs et fractions continues deStieltjes.Christelle Guichard (Université de Grenoble I)On considère une réciproque à la Construction de Salem (1945) de suites convergentes denombres de Salem en termes d’association entre polynômes de Salem et de quotients d’Hurwitzpar l’intermédiaire de polynômes expansifs de petite mesure de Mahler. Cette association utilisele Théorème A (1995) de Bertin-Boyd d’entrecroisement de conjugués sur le cercle unité ; dansce contexte, un nombre de Salem est produit et codé par un m-uplet de nombres rationnelsstrictement positifs caractérisant la fraction continue de Stieltjes (SITZ) du quotient (alternant) d’Hurwitz correspondant. Le sous-ensemble des fractions continues de Stieltjes au-dessusd’un polynôme de Salem à racines simples, ne s’annulant pas en 1, provenant de polynômesexpansifs unitaires de terme constant égal à leur mesure de Mahler, admet une structure desemi-groupe. Cette structure de semi-groupe se transporte sur les ensembles de nombres deGarsia généralisés correspondants.Pluri-canonical systems on arithmetic surfacesYi